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稳中求变凸显素养，贴近实际彰显品质 ————2016 年高考全国卷Ⅰ数学试题评析与思考 作
者：
杨恩彬
作者简介：
杨恩彬，宁德市第一中学.
原发信息：
《福建教育：中学版》(福州)2016 年第 20167/8 期 第 75-77 页
内容提要：
2016 年高考福建省使用全国新课标卷Ⅰ，通过对该试卷的总体分析，发现其梯度设置明显，体现选拔功能；稳中求新求变，注重素养考查；创设实际情境，突出数学的应用价值.这要求教师在教学中要夯实基础知识，提升数学能力；通法特法并重，提高应试技巧；重视数学阅读，强化转换意识.
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键
词：
高考数学/全国卷/试题解析/数学素养
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 10 期
2016 年高考福建省使用全国新课标卷Ⅰ，遵循高中课程标准的要求，以《2016 年普通高等学校招生全国统一考试大纲》以及《2016 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》为依据，文、理科试题均以知
识考查为载体，以能力考查为导向，全面体现了对考生数学核心素养的关注.
一、试卷的总体分析
文、理科试卷在结构、题量、分值分布、主体知识的考查等方面均延续了以往的模式，试题的设置无论选填题还是解答题，均从易到难，体现了对考生的人文关怀.其中选择题、填空题压轴题难度降低（特别是填空题压轴题），但中档题的难度较往年略有提升.
文、理科试题难度的差距较往年有所减少，其中文、理同题的试题有7 道，分值为 40 分，姊妹题有 3 道，分值为 29 分.
试卷的内容分析.
表 1 列举的数据表明，全国卷Ⅰ数学卷全面考查了高中数学涉及的基本数学能力，并借此考查了“数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算，数据分析”等核心素养，着力体现对考生用数学的眼光看世界、用数学的思维分析世界以及用数学的语言诠释世界的关注.表 2 列举的数据表明，全国卷Ⅰ数学卷注重多种数学思想的综合考查，注重通性通法，对考生思维品质的层次要求较高，有效检测了考生对高中数学知识中所蕴涵的思想方法的掌握程度.
二、试卷的特点分析
1.梯度设置明显，体现选拔功能
选择题和填空题中，文、理科试卷均以考生熟悉的集合、复数为起点考查，并逐渐提升难度.理 4 考查了几何概型问题，计算量不大，但背景较新，需考生仔细阅读分析.文 12 求导后可化为三角函数与二次函数的复合函数，可通过换元后转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解，试题中涉及复合函数的求导问题，对许多文科生来说难以入手.
文、理科试卷的中档题较多，有的是解析几何与不等式的交汇，有的则考查了考生多种函数的掌握程度，有的具备浓厚的应用背景，呈现了较为明显的梯度，充分检测了考生的思维能力，能有效区别考生的数学解题能力，体现高考的选拔功能.
解答题文、理 17 均较为容易；立体几何试题文、理科的第（Ⅰ）问都较好入手，但理科第（Ⅱ）问如何建系、文科第（Ⅱ）问如何找到投影点，对考生提出了挑战；概率统计试题文、理科前两问都较易求解，但第（Ⅲ）问文、理考生都需理解题意，才能明确求解的目标和方向；文、理20 和文、理 21 是圆锥曲线和函数与导数试题，其第（Ⅰ）问较前面几题的难度也有所提升，第（Ⅱ）问则要求考生具备较高的思维层次、良好的心态.
2.稳中求新求变，注重素养考查
文、理科试题均没有出现怪题偏题，考生解题所需方法也是平时训练中常用的方法.选择、填空压轴题的难度降低，但要求考生具备坚实的数学基础、迅速准确的运算求解能力和灵活多变的解题方法.
例 1（理 12）：已知函数 为 f（x）的零点， 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在 单调，则ω的最大值为（
）
A.11 B.9 C.7 D.5
评析：本题以三角函数的基本性质为载体，考查三角函数解析式中的参数取值；求解时无需直接求解，可利用备选项答案的提示作用，从最大的值 11 开始逐一代入判断，直到数值符合所有的已知条件.试题要求考生在有限的时间内迅速做出判断，选择最恰当的方法，考查了考生对三角函数基本知识的掌握程度、运算求解的能力和数学思想方法运用的灵活性.
例 2（文、理 16）：某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元.
评析：本题以企业利润问题为背景，考查线性规划问题.试题要求考生从实际情境中抽象出数学问题，转化为不等式问题求解.考生求解时须具备较高的运算求解能力，灵活运用化归与转化思想、数形结合思想解决问题的能力.
作为填空题的最后一道，本题的难度不大，这事实上是全国卷通常不在填空题上设置障碍命题理念的延续.
试卷在力求平稳的同时也注重检测考生对知识的理解程度、理性思维的深度及广度.不少试题根植于基础，面孔熟悉，但解题思路、方法等具备创新性，让不同层次的考生有机会展示自己的实际水平，起到甄别考生的思维能力和发展能力的作用.
例 3（理 10）：以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知 ， ，则 C 的焦点到准线的距离为（
）
A.2 B.4 C.6 D.8
评析：本题题设反常规，没有给出抛物线的标准方程.求解时考生须根据题设所描述的几何图形的相对位置确定抛物线方程和圆方程的待定形式.求解时可根据题设布列方程组求解，也可根据备选项猜想并进行验证得出正解.考生在解题中不断经历着从文字语言到图形语言再到符号语言的相互转换过程，这对考生的图形分析能力、运算求解能力以及圆与抛物线的相关基础知识有着较高的综合要求.
例 4（文 18）：如图 1，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.
（Ⅰ）证明 G 是 AB 的中点；
（Ⅱ）在答题卡第（18）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积.
评析：本题的模型是将一正方体切割成三个两两垂直的侧面构成的正三棱锥.第（Ⅱ）问考查点在平面内的正投影问题，实为考查直线与平面的垂直问题，对文科考生的空间想象能力要求极高.考生若能将该正三棱锥还原为正方体的一部分，那么问题所涉及的位置关系和数量关系都将变得一目了然.
3.创设实际情境，突出数学的应用价值
应用题是考查应用意识的重要载体，今年文、理科试卷的一个特色是均有多题紧密结合社会实际和考生的现实生活，创设了实际情境，要求考生在阅读完试题后，能快速从中分析并抽象出数学问题，进而解决问题.
例 5（理 19）：某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图（图 2）：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）求 X 的分布列；
（Ⅱ）若要求 P（X≤n）≥0.5，确定 n 的最小值：
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与n=20 中选其一，应选用哪个？
评析：本题和文 19 为姊妹题.求解本题时，考生需跨过两个障碍，一是阅读理解题意，二是将实际问题抽象为数学问题并建立相应的数学模型求解.试题要求考生具备较强的抽象概括能力和应用意识，具备较高的数学核心素养.
二、试卷对教学的启示
1.夯实基础知识，提升数学能力
试卷中有许多试题来源于教材，如理 6（文 7）中的三视图是将常见于教材的球切割去 后求表面积，理 17 源于教材必修 5 的一道练习题，理 20 的第（Ⅰ）问则考查了圆锥曲线的定义.这意味着日常教学与高三复习中都要注重基础，进而实现学生对数学基本概念、定理、公式等深层次理解.
与此同时，要精心选择典型例题，配置相应的习题，并强化变式，使学生的知识结构能够拓展、引申和完善.
此外，还应有意识地培养学生的目标意识，避免求解问题时没有方向，做到审题时能边读题边思考，并从题设和结论中找到解题的有效通道.
2.通法特法并重，提高应试技巧
在学生掌握通性通法、掌握基本的解题技能与应考策略的同时，也要培养学生思维的灵活性，做到具体问题具体分析，有效利用试题中透露的信息快捷准确地解题.
如理 10（例 3）和理 12（例 1），如若直接求解，则需花费大量的时间和精力，但若从备选项入手，则事半功倍，还可减少错误率.文 18（例 4）若利用试题配置的图形，则很难从中观测到垂直关系，但若能重新画图，将其“纳入”到正方体中，则原题中隐含的线面垂直关系则可直观看出，并能观测到比例关系，求出相应的体积.
今年高考数学文、理科试题的计算量均较大，这就意味着在平时的教学中，不仅要帮助学生熟练掌握常用的基本的计算技能，还应注重提升学生合理选择计算方式的能力以及合理“回避”复杂计算的能力，引领学生先“思”后“算”、多“思”少“算”.
3.重视数学阅读，强化转换意识
今年高考数学文、理科试卷均出现了数量多于往年的具有实际背景的应用题，必须认识到，这一变化应该是为了回应新一轮高中数学课标修订对数学核心素养的重视.换言之，这一变化不是偶然的.教师应同时注意到，学生求解应用题的主要障碍在于无法依托合理有效的阅读，无法理解文字信息并转化为数学问题，可见，无论是日常教学还是高三复习，均应重视数学阅读的训练、强化转换意识、提高语言转换能力.
当然，还应该指出，重视数学阅读的训练、强化转换意识、提高语言转换能力的目的并不局限于应用题求解，实践表明，“依托阅读、合理联想、有效转换”是求解数学综合性试题的基本策略.
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