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挖掘概念本质，发展核心素养 ————数学概念教学的几点体会 作
者：
何明志
作者简介：
何明志，广东省深圳市高级中学.
原发信息：
《中学数学教学参考 》(西安)2021 年第 20216 上期 第27-29 页
内容提要：
鉴于数学概念的重要地位，在数学概念教学中应把握概念教学的基本路径、注重概念的本源和产生的基础、挖掘概念的内涵与外延、重视概念的应用，以提升学生的核心素养.
关
键
词：
核心素养/数学概念/概念教学
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2021 年 10 期
数学概念是学生进行数学思维的逻辑起点，是数学知识体系的基础，是理解基本理论、掌握基本技能的基石（数学概念在数学知识体系中的地位详见图 1），在数学学习与教学中具有重要地位.
概念教学应通过创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生在情境中归纳概括、抽象出本质属性，经历“再创造”数学概念的过程，从而
达到理解数学概念，发展学生数学核心素养的目的；同时在数学概念的“再创造”过程中学习研究数学对象的方法，提升分析问题和解决问题的能力.因此，我们要重视和改进数学概念的教学，在数学概念教学中发展学生的核心素养.笔者对数学概念教学有以下几点体会.
一、把握概念教学的基本路径，增强教学的整体性
《普通高中数学课程标准（2017 年版）》指出：“高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程.”[1]每条主线内容中数学概念的提出都有其自身的规律性，只有把概念放到具体的知识结构背景中不同的主题或单元中展开教学，才能更好地理解和掌握数学概念，形成研究数学对象的方法，发展数学学核心素养.章建跃博士在深圳市教科院组织的全市数学教师培训会议上做了“数学学科核心素养导向的高中数学教材改革”的报告，报告中提出教师在教学中应“明确教材基本套路，增强教学的整体性”.作为数学知识逻辑起点、学生认知基础的数学概念，我们更应该把握概念教学的基本路径，以增强教学的整体性.下面笔者以函数、几何与代数为例，给出其研究路径具体如下：
函数是按照“集合、逻辑用语、不等式（预备知识）—函数的一般概念与基本性质—基本初等函数”展开.函数概念的研究路径：实际背景—抽象出本质属性—概括形成概念—探究性质—概念应用.基本初等函数的研究路径：实际背景—抽象概括出概念—图象与性质—应用.特殊函数数列的研究路径：背景—概念（定义、表示）—等差数列（等比数列）—应
用.导数的研究路径：物理背景、几何背景—概念—运算及运算法则—函数的性质.
几何与代数主线突出几何直观与代数运算之间的融合：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，即通过数形结合，体验几何与代数之间的紧密联系，从整体上对数学知识加深理解.内容包括平面向量和空间向量、立体几何、解析几何、复数.立体几何、解析几何的研究路径：背景—概念—判定、性质—结构（联系）—应用；向量的研究路径：背景—概念—运算（运算的几何性质、运算律）—联系（数乘—向量共线定理—向量基本定理及坐标表示）—应用.
从以上分析可以看出函数、几何与代数中概念教学的基本路径都是：实际背景（具有共同本质属性的一类事物的实例）—概念—性质（概念各要素之间的关系、运算律、变化规律等）—知识结构（相关概念的联系）—应用.
二、在抽象数学概念的过程中，注重概念的本源和产生的基础
数学概念的引入，应以知识发生、发展的过程为线索设计教学过程.从实际出发，创设情境，注重概念的本源，努力揭示数学概念产生的背景和发展的过程，暴露蕴含在其中的数学思想和方法.具体地说，数学概念的教学，就是要通过创设与概念有明显联系、直观性强的情境，再现概念产生的数学历史背景，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，并引导学生分析、探索，从感性材料中抽象概括出共同本质属性，归纳得出数学概念，将凝结在数学概念中“数学家的思维活动”打开，使学
生经历“从事实到概念”的数学化过程.笔者认为这种引导学生“再创造”的过程尤为重要，能使学生感觉到是自己“发现”了数学概念，通过不同形式的自主学习、探究活动，理解和掌握了基本概念和基本思想，使数学概念不再“陌生”.显然，这样的概念教学对发展学生的数学抽象、直观想象等素养意义重大.
比如，“函数的零点与方程的解”的教学设计中，通过求解方程lnx+2x-6=0 的根来创设有效的问题情境，引入新课，产生“已有知识不能解决”的认识冲突，激发学生的求知欲和学习兴趣；通过探究一元二次方程 的根和其对应的二次函数 的图象与 x 轴交点关系，从函数的角度来理解方程的根，进一步得出函数零点的概念，不仅让学生清楚了“零点是什么”的问题，也让学生明白了为什么要学习函数零点的概念；通过设计一道例题，求几个熟悉的不同类型初等函数的零点，反复多次让学生感受函数的零点与方程的根之间的对应关系，能够突出本节课强调的这种“联系性”，同时也让学生清楚并不是所有的函数都有零点这个事实，为接下来的零点存在性问题的探究提供了必要性；通过让学生画出经过三点 A（-2，5），B（1，-4），C（5，12）的二次函数 的简图，感受函数在给定区间（a，b）内存在零点的充分条件 f（a）·f（b）＜0；通过引导学生对不连续函数的探究，让学生感受到尽管满足 f（a）f（b）＜0，也不一定有零点，还需要满足“连续不断”这个条件才能保证函数一定存在零点，为归纳概括出零点的存在性定理奠定基础，即在某区间[a，b]上连续不断的曲线，满足两个端点的纵坐标异号时，曲线必穿过
x 轴.进一步引导学生归纳概括出零点存在性定理，突破把函数的“图象特征”转化为“代数表示”的难点.[2]
又如，在解析几何“直线的倾斜角和斜率”这一节的教学中，倾斜角和斜率就是非常重要的概念，它承载了重要的数学思想方法，在讲授选择用倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时，为什么不选择倾斜角的正弦或余弦，而要选正切，作为教师，要引导学生明白其中的道理.对此，有些教师直接用“规定”搪塞过去，这就失去了一个引导学生领会几何知识代数化（坐标化）的数学思想方法的机会.
事实上，在教学这部分内容时，教师要引导学生理解以下几个事实：首先，直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，那么有了倾斜角，为什么还要用α的三角函数值来刻画倾斜程度呢？原因就是倾斜角达不到“直线倾斜程度坐标化”的目的.其次，选用α的哪个三角函数值来刻画直线的倾斜程度，可供选择的有正弦、余弦或正切，我们不妨画 y=sinx，y=cosx，y=tanx 在区间正[0，π）内的图象.y=sinx 在区间[0，π）内的们都是非负的，且对于不同的角，有相同的函数值，不能表示不同的倾斜程度；y=cosx.在区间[0，π）内的值域为（-1，1]，且 ，而当倾斜角为 时，直线垂直于 x 轴，此时说直线的斜率为 0，不合情理；y=tanx 在区间 与内分别是增函数，分别对应直线斜率从 0 逐渐增大到正无穷、从负无穷逐渐增大到 0，当倾斜角为 时，直线垂直于 x轴，tanx 不存在，即直线的斜率不存在，直线也就不倾斜了.最后，用倾
斜角的正切“ ”表示的直线倾斜程度是“坐标化”最彻底、结构最简单的，因此，学生会自然地选择用倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度.
三、在挖掘新概念的内涵与外延的过程中发展逻辑推理、数学运算素养
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高.探究一个数学概念的内涵与外延，一方面是为了更深入地认识这个数学概念，提炼数学概念或数学命题中的数学思想方法，优化完善自己的数学认知结构，形成知识网络；另一方面是为了能更好地解决与其相关的数学问题.
如在学习向量时，要引导学生挖掘概念的外延和联系：“数乘运算”是“向量共线定理”的逻辑基础，“向量共线定理”是“向量基本定理”的逻辑基础，而“向量基本定理”是“向量坐标表示”的逻辑基础.又如，三角函数的概念，循序渐进地经历了三个不断深化的过程：初中时利用直角三角形边长的比定义锐角三角函数；高中时利用单位圆与角终边交点的坐标定义任意角的三角函数；最后利用任意角终边上任意一点的坐标定义三角函数.从三角函数的概念出发衍生出三角函数值的符号、三角函数线、同角三角函数的基本关系、诱导公式等，甚至圆的参数方程、复数的三角表示、直角坐标与极坐标的互化等都要用到三角函数的定义.可见，三角函数的定义是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容，
并起着关键作用，在这个学习过程中，充分挖掘新概念的内涵与外延，能有效提升学生的逻辑推理和运算能力.
四、在数学概念的运用过程中发展数学建模素养
综上所述，在数学概念教学过程中，通过创设有效的数学问题情境，努力揭示数学概念的发展过程和本质，还原概念形成的概括过程；通过典型例题的分析和学生自主探索活动使学生“再创造”数学概念，让学生在体验“成功创造的快乐”过程中学习新知识，并自觉地运用新知识解决问题，从而使课堂充满盎然生机，发展学生的核心素养.
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