下面是小编为大家整理的“平面向量基本定理”教学理论分析与教学设计【精选推荐】,供大家参考。
“平面向量基本定理”教学的理论分析与教学设计 作
者：
汤敬鹏
作者简介：
汤敬鹏，甘肃省兰州市第五十七中学（730070）.
原发信息：
《数学教学研究》(兰州)2016 年第 20167 期 第 27-32 页
内容提要：
从高等数学视角认识“平面向量基本定理”，进而确定该内容在高中数学中的地位和教学的目标定位，并在分析学习者特征的基础上，研究者给出“平面向量基本定理”（第一课时）的详细教学设计.
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键
词：
平面向量基本定理/理论分析/教学设计
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 12 期
学生在小学、初中及至高中数学学习的内容中，学习了很多定理，但是其中被命名为基本定理的只有三个，分别是“平面向量基本定理”、“空间向量基本定理”以及“微积分基本定理”，其中在必修内容之中只有平面向量基本定理，而后两者也只是理科学生需要学习.那么为什么要称其为基本定理，它在学生的数学学习中有什么作用，对学生进入高等院校学习后续内容时又有什么作用，这些作用又对我们的数学教学有什么指导意义呢？这是我们在教学平面向量基本定理时需要考虑的问题.
一、与“平面向量基本定理”教学相关的高等数学背景综述
1.向量理论是线性代数的理论基础，而线性代数是研究科技问题的重要数学工具
我们知道高中阶段数学学习是为学生进入高校学习服务的，高中阶段学习的很多内容都与大学阶段学习的数学内容有着重要的联系，是学习它们的基础，因此，高中数学教学必须站在高等数学的高度来审视教学的内容，用高观点来指导教学，这样，高中数学教学才能高屋建瓴，才能更为深刻.向量这一章的学习内容虽然是由物理学中的矢量引入，但是在它进入数学研究领域之后，有关它的理论研究却更为深刻，高等数学中的线性代数（Linear Algebra）的理论基础，一部分就来自于对向量及向量空间的研究.
线性代数做为数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组.线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中.线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论.由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具.由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数，成为理工类学科必备的数学基础.因此线性代数成为高等院校一些专业的重要数学基础课.
线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价的表达.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见，向量空间及其理论是构成线性代数基本理论的基石，向量理论中有一些重要的概念，其中包括极大线性无关组概念.
2.“平面向量基本定理”是极大线性无关组定理的二维特例
高中阶段的数学教学必须为学生进入高校后的数学学习打好基础，从向量空间的角度来说，平面向量基本定理所涉及的内容是二维向量空间，它的几何背景就是学生最为熟悉的平面，平面向量在平面基底上的线性分解是有其物理学模型的，即力、速度、位移等的分解，这些都使得学生更易理解二维平面的线性相关，通过以上理论分析，我们可以知道，学生理解了平面向量基本定理，再学习后续空间向量基本定理以及 n 维向量空间中关于极大无关组内容时，就有了知识依托，利于他们后续知识的学习.所以我们必须正确地认识平面向量基本定理的教学的这个作用，使这一部分的教学真正能够发挥它的教育功效.
二、“平面向量基本定理”在高中数学中的地位
1.“平面向量基本定理”与高中数学其他内容的联系
“平面向量基本定理”是沟通“一维”与“三维”的桥梁，在学习这个定理之前，学生已经学习了“共线向量定理”：共线的向量有无数多个，在“选定一个非零向量 a”的前提下，其他向量 b 均可用 a 唯一表示，即存在唯一的实数λ，使得 b=λa 成立.这样，共线的所有向量的运算都可以转化为向量 a 的运算.这是一维（直线）的情形，教学中可以由这个定理类比过渡到到二维（平面）的情形，可引导学生进行探究，学生理解了“平面向量基本定理”，可以深化对“共线向量定理”的认识，同时，利用升维类比，可以在后续学习中引导学生探讨三维（空间）的情形，为选修内容中“空间向量基本定理”的学习做好铺垫.“平面向量基本定理”也是联系“几何”与“代数”的纽带，根据“平面向量基本定理”，平面内每一个向量都与有序实数对 唯一对应，特别是在单位正交基底下进行的线性分解，使得平面向量的关系可由坐标的运算来表示，这样，平面中共线、垂直等关系都可转化为数值运算，而由于向量的自由平移特性，使得向量处理平面几何问题时，比解析几何更少依赖图形本身的一些性质，用向量坐标的纯代数运算解决问题时也更少受到限制.同时，一些代数问题（如二维柯西不等式），可以通过构造向量，借助向量“形”的方面加以解决.这样，通过“平面向量基本定理”，向量成为沟通数与形的重要工具.
2.“平面向量基本定理”的方法效应
在高中数学中，有一些常见的数学思想与方法，其中基本量方法就是一种重要的方法.文[3]中指出基本量方法是从整体分析和把握数学问题的一种方法，若某个数学对象 F 满足：（1）存在 n 个相互独立的量，使 F唯一确定；（2）任何 k 个相互独立的量（k＜n）都不能使 F 唯一确定.则称 F 的自由度是 n， 若 F 的自由度是使 F 唯一确定，则称 G 是 F 的一组基.此时， 称为 F 的基本量.所谓基本量方法，其指导思想就是在解数学问题时，先确定数学对象 F 的基本量，然后用基本量去表示与问题有关的 F 的非基本量，使问题转化为仅仅涉及基本量的寻求，从而减少未知量个数，以求获得问题的解.这种借助于基本量来解决问题的方法就叫做基本量方法.
从以上叙述可以看出，平面向量的基本量就是平面的基底（二维极大无关组），平面向量的自由度为 2，利用“平面向量基本定理”，将平面内的所有向量的运算问题转化为基底的运算问题，这就是基本量方法.“平面向量基本定理”为学生展示了一个具有基本量方法的重要模型，因此教学中要向学生揭示定理中所蕴含的这种方法，并在后续学习具有这种方法的内容时（如等差数列、解三角形等），进行比较，让学生对这种方法有更为深刻地理解.
三、“平面向量基本定理”教学的目标定位
通过以上的分析，笔者认为在平面向量基本定理的教学中，必须要让学生厘清以下问题：（1）平面的基底为什么要由两个基向量构成，为什么它们之间要有不共线的关系；（2）平面内的任意一个向量是否都可以
由基向量进行线性分解；（3）平面向量在给定基底下的线性分解形式是否是唯一的.而我们的教学也应围绕着这三个方面重点展开.同时，我们还要通过教学，让学生体会定理中所蕴含的基本量方法，及化繁为简的思想内涵，体会数学中所蕴含的简捷之美.
四、学习者特征分析
本节内容是在高一年级进行教学，从知识角度来说，高中一年级的学生已经具备了物理学中矢量的分解与合成的知识，这可以成为本节课教学所依托的前知识经验.在本节课的之前，学生学习了向量的线性运算及“共线向量定理”，可以利用它与“平面向量基本定理”的升维类比关系引入课题.
从能力角度来看，高中一年级的学生已经具备了一定的理性认知、理性分析与理解能力，但对于较为抽象、严谨的数学定理表述语言还会有理解的困难，特别是对“平面向量基本定理”中“任意性”、“唯一性”等数学逻辑用语还不能达到深刻的认识，这就需要在教学中利用学生熟悉的语言，设计相应的问题链，分解学生的理解困难，引导学生达成对定理的理解.
高一年级的学生理性认识能力虽然在发展中，但在数学理解中仍较多地依赖直观，所以本节定理教学中，设计制作多媒体课件，如几何画板的应用，可以帮助学生产生直观感受，达到分解难点，帮助理解的作用.
数学课程标准中指出，数学教学要让学生逐步学会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑
推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养.学生这些能力的提升，素养的形成，来自于每堂课的教学之中，本节课亦然，在本节教学中需要设计相应的教学环节，让学生进行表达与交流，以提升他们的能力.
五、“平面向量基本定理”（第一课时）教学设计
1.引言设计
老子云“道生一，一生二，二生三，三生万物”，这句话告诉我们，任何复杂的事物都有其简单而深刻的内涵.老子《道德经》中说“万物之始，大道至简，衍化至繁”.意思是说大道理（指基本原理、方法和规律）是极其简单的.把复杂冗繁的表象层层剥离之后就是事物最本质的大道理.在数学中，我们往往也在追求至简的“大道”.如笛卡尔曾经设想，能否将繁杂的生活中的问题都转化为数学问题，将所有数学问题都转化为代数问题，而将所有的代数问题都转化为方程问题，通过解方程，就能解决各种生活中的问题.笛卡尔的设想虽然失败了，但是他这种化繁为简的思想却是值得我们借鉴的.在向量的学习中，我们也是这样做的，前一节课我们学习了实数与向量的积，并学习了“共线向量定理”，共线向量定理告诉我们，直线上存在无数个向量，我们可以通过选定直线上一个非零向量 a，而其他向量 b 均可用 a 唯一表示，即存在唯一的实数λ，使得 b=λa 成立.这样，共线的所有向量的运算都可以转化为向量 a 的运算，这样，就将直线上复杂的向量问题转化为有关一个向量的简单问题了.同样，平面内也存
在无数个向量，它们是否也可以转化为用少量的几个向量来表示，从而将复杂的向量问题归结为这几个向量的运算问题，从而使问题简单化.
设计意图 引言开门见山，直指平面向量基本定理的方法内涵，让学生一开始就明确本节课学习的目标，即探讨平面内的每一个向量是否都能用少量的几个向量来表示，这样引导学生在学习的开始就将注意力集中在平面基底的选取之上.通过引言，揭示了“共线向量定理”与“平面向量基本定理”的关系，同时还能让学生体会数学的追求就是至臻至简.
2.教学重点环节问题链及活动设计
问题 1 根据“共线向量定理”，若给定直线上一个非零向量 a，直线上所有向量是否都可以用 a 表示，如何表示？如果向量 b=ma（m∈R），那么向量 b 与向量 a 有何关系？直线外的向量，即与 a 不共线的向量可以用 a 表示吗？
设计意图 此问题设计目的有三点：（1）复习上节课所学内容，温故而知新；（2）通过一维（线上）向二维（平面）进行类比，使新知识有了立足点；（3）由于一维不能表示平面内所有向量，所以就有了学习新知识的必要，使新知识有了生长点.
问题 2 从上面问题可以知道，平面内的向量除了与 a 共线的向量，是不能只用一个向量来表示的，那么平面内的某个向量，可以用平面内的几个向量来表示？向量抽象自物理学中力、速度等矢量概念，我们知道力、速度可以分解与合成，那么这些物理学现象对我们研究今天的内容有什么帮助？
设计意图 这个问题引导学生探究二维中基向量的个数，借用物理学中的矢量分解这一学生熟悉的背景，学生更容易想到一个向量应能向两个不同的向量方向进行分解，这也是利用了心理学中的同化理论.
问题 3 平面内某个向量 a 能用两个向量 来表示，那么对 有没有一些限制？如果学生不能思考出来，可以提示：一个力可以用两个与此力不同向的共向力来分解吗？
设计意图 这个问题的提出，是引导学生注意两个基向量 之间的不共线关系这一前提，也就是它们具有线性无关性.同时通过追问为什么，可以引导学生从问题 1 的角度去思考.
问题 4 给定两个不共线的向量 ，对于任意的向量 a，可以在它们的方向上分解与合成吗？也就是向量 a 可以用向量 通过有限步的线性运算表示吗？如果能，表达式是怎样的？
活动 1 教师给出如右上图的几种情形，学生分组探究.
活动 2 教师在学生探究的基础上，利用几何画板，制作课件展示，对于平面内任意向量，都可以表示成 的形式.
设计意图 这个问题引导学生思考探索定理的另一个要点，即定理中向量 a 的“任意性”及向量 a 的在基底下的线性分解形式.数学课程标准要求数学教学要让学生体验数学研究的过程，并通过亲身经历数学研究过程形成一定的数学活动经验，并从中感悟数学思想、方法，从而达到课标所要
求的“四基”目标.活动 1 就是为学生提供了一个探究、归纳的数学研究过程.但是活动 1 只对几个特例进行了归纳，结论是似真的，教师通过活动 2中多媒体展示，从直观上对定理的结论进行了穷举，这样使学生更容易理解定理的内涵.
问题 5 在给定不共线向量 的条件下，向量的这种线性分解形式是唯一的吗？
问题 6 如果给出另外两个不共线向量 ，向量 a 被它们表示的线性分解形式与被 所表示的线性分解形式是相同的吗？对 而言，这个表达式是唯一的吗？
设计意图 通过这两个问题，引导学生理解平面的基底是不唯一的，但平面内任一向量在给定基底下的线性分解形式是唯一的.这也是前面理论综述中所说的，极大无关组是不唯一的，而向量组中的任意一个向量都可由无关组唯一表示.
问题 7 平面内的任意向量是否只需两个不共线向量 表示？可以用三个以上的不共线向量表示吗？
设计意图 进一步帮助学生明确平面内...
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