下面是小编为大家整理的为啥这样“规定”【精选推荐】,供大家参考。
为啥这样“规定” 作
者：
朱微
作者简介：
朱微，浙江省杭州第十四中学（310015）.
原发信息：
《中小学数学：高中版》(京)2013 年第 9 期 第 32-34 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 02 期
课堂上，当我们理直气壮地说：“规定：空集是任何集合的子集.”有时会听到学生小声嘀咕：“老师，为啥这样规定？”当我们眉飞色舞地说：“规定：零向量的方向是任意的.”有时学生会弱弱地问一句：“老师，为啥这样规定？”
是啊！为啥这样规定？
这些“无理取闹”的学生，像是那个指出皇帝没有穿衣服的勇敢的孩子.他们的问题直击数学的本质，考验着老师的数学素养.
细想起来，数学中一些“规定”都是有缘由和用处的，绝不是随意而为.
一、“规定”，表明数学是清楚的
清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结果，数学中的命题和结论，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊.数学中的“规定”，看似人为，
实则遵守数学法则.只要大家按照数学规则，按部就班地探究，循序渐进地想，就会明白其中的原因.
例 1 从“规定：
=1”说起.
代数学的根源在于代数运算，运算律是整个代数学的基础.对自然数而言，若令起始者为 1（说明：最小的自然数为 0），让后者顺序地+1，就可以得到整个自然数.也即：2=1+1；3=2+1，4=3+1……所以，加法是“+1”的复合.人对自然数进行的第一项工作是做加法运算.对于任意的正整数，加上一个什么数后仍然是其本身？这就是零！也就是说，零是加法的逆运算——减法的产物.
乘法是加法的更高一级运算.两个正整数的加法与乘法的含义都是直观的，并且满足交换律、结合律和分配律.那么 a·0 的含义是什么？结果是多少？直观上无法解释时，我们就回归到零的诞生——运算.只要符合运算律即可，也就是说，a·0=a·（b-b）=a·b-a·b=0，其中 .
顺着这个想法，乘方是乘法的更高一级运算，为了遵循运算规则，所以规定 .
进一步，除了数系中的零，在其他地方遇到“零元”时，也常常会遇到麻烦，比如零向量.作为一种特殊的向量，长度为零是显然的，那么方向呢？如果没有运算，向量只是一个“路标”；因为有了运算，向量的力量无限.因此，要从运算的角度去规定和理解零向量的方向.零向量的坐标为
（0，0）.对于任意非零向量 a=（x，y），0·x=0·y，因此 0//a.由于0·x+0·y=0，所以 0⊥a.
类似地，在集合中，我们也碰到了“零元”——空集.集 对于空集 ，满足 .为了对空集也保持上述运算规则，我们就规定空集是任何集合的子集.
实数系是一切具有运算体系的标兵，任何具有运算体系的内容、方法与思想，都能在与实数的类比中得到启示.在运算中，“零元”的规定，彰显着数学的清清楚楚.
二、“规定”，表明数学是自然的
课本中的数学内容，是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的定义、规定的起源与发展都是自然的.
例 2 用倾斜角的正切来刻画斜率.
说明：用倾斜角的正切来刻画斜率，这是一种定义方式，教材上虽然没有出现“规定”二字，但本质还是一种人为规定（包括后文的例 4）.
有些学生会困惑于为什么直线的斜率要用倾斜角的正切来定义，而不能用其他三角函数.这说明学生感到这个概念不自然.
在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度）.对于相同的前进量，升高量的大小就能反映坡度的倾斜程度.如图 1，把坡度放到平面直角坐标系中，使前进量为单位长度，
则升高量所对应的有向线段即为角α的正切线.因此，我们把倾斜角α的正切值叫做 OB 所在直线的斜率.
从直观上来看，当直线的倾斜角在 的范围内越来越大时，直线就越陡，所以斜率是关于倾斜角的单调递增函数，这就排除了余弦函数.倾斜角的取值范围是[0，π），为方便起见，我们希望倾斜角与斜率有一一对应的关系（个别特殊点可以特殊考虑），因此又排除了正弦函数.而正切函数符合这两点要求.余切函数似乎具有更好的性质——在（0，π）上连续且单调，但是，它的单调递减性与我们的直观认识相违背.
从函数的角度来看，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是直线，其中一次项系数 k 即为该直线的斜率，这再一次说明，我们的规定是合理的.
为啥这样规定？其实，我们只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.
三、“规定”，表明数学是有用的
数学在实践中，在理论中，在物质世界中，在精神世界中，处处都有，处处都有用场，数学是科学的语言，是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的工具.有些“规定”彰显着的数学有用.
例 3 引入一个新数 =-1，叫做虚数单位，并规定：
（1）
=-1；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
为什么要这样规定？这样规定有何作用？
复数是人为制造出来的，并没有确切的几何或者物理背景，但这个创造是非常有用的，既有数学内部的应用，也有数学外部的应用.
首先，复数的产生起源于解方程，但它的作用超越了刻画方程的解.比如，（代数学基本定理）任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1）.由此推出，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n个根（重根按重数计算）。可以看到，因为有了复数，就可以把多项式的基本结构清晰地表达出来.
任何一个复数 z=a+bi（a，b∈R），都由一个有序实数对（a，b）唯一确定.因此，平面直角坐标系上的点 Z（a，b）与复数 z=a+bi 一一对应，或者说与向量 一一对应（其中 O 为坐标原点）.于是我们看到了复数，并能从向量的角度对加减运算作出几何解释.
19 世纪以来，电学中大量使用复数，大大简化了计算.爱因斯坦的广义相对论，在引入了虚数单位 i 之后，才被人们广泛接受.但真正非用复数不可的时代，是在 20 世纪初.创立量子力学的薛定谔发现，描写量子行为的波函数，不仅有振幅大小，还有相位，二者相互联系构成整体，所以量子力学方程必须用复数来描述.
复数起源于“数”，在“形”中获得生命，最后简化了数量关系，推动了“数”的发展.数与形的完美结合，丰富了复数理论，并改变了物理学家的世界观.
四、探究“规定”能提高数学理解力
大家都觉得，数学学得好的人也容易学好其他理论.实际上，理论之间往往有彼此相通和共同的东西，而“数量关系与空间形式”、逻辑结构及探索思维等正是它们的支架或脉络，因而数学恰在它们的核心处.
例 4 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.
有了角度制，为啥还要弧度制？而且做这种定义（规定）？
首先来看弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.特别地，对于单位圆（半径为单位长度）而言，弧长和它所对圆心角的弧度数相同.简而言之，弧度制下，我们把对角的测量转化为了对曲线——弧的测量.这体现了数学发展的需要，数学发展的内在逻辑.
第一，角度制是 60 进制的，而实数系是 10 进制的.若要把角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系，要进行一次换算.而弧度制下，对于单位圆上的一段弧，只要把它的起点固定在原点，沿实轴拉直弧，终点所对应的实数就是该角的弧度数.由此，很方便地就建立起了两者的一一对应关系.
第二，弧度制下，单位圆的弧长与角的度量值相同.对于半径为及的扇形，计算其弧长，只要通过相似变换，放缩为单位圆中的扇形，即得 l=αR，其中 1 是弧长，α（0＜α＜2π）是弧度制下的圆心角.同理，利用比例
关系，可得扇形面积 对比角度制，这组公式简洁易记，且 可类比三角形的面积公式.
第三，弧度制赋予了角度以几何意义，结合三角函数线，从图象上易得，当α为锐角时，不等式 sinα＜α＜tanα成立.而这正是求 sinα和 cosα的导数的关键步骤：（sinx）′=cosx，（cosx）′=-sinx，其中自变量 x 用了弧度制.如果采用角度制，（sinx）′=Ccosx，（cosx）′=-Csinx，其中因此，弧度制大大简化了三角函数公式及计算.
弧度制的产生，使人类对角及三角函数的认识跃上了一个新的台阶；且在数学的发展进程中，弧度制的优越性被一次次地证实！
可见，探究“规定”是对数学思维的锻炼，其中获得的训练和修养会很好地帮助我们学习其他理论，提高数学理解能力.
