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探究被帽穿甲弹(APC)相较于普通穿甲弹(AP)对于装甲穿透力的提高
建模小组：才鹤晨，庞博文，秦恺阳 页码 1:引入
页码 2：介绍 APC 转正
页码 3：建模过程 页码 4,5：代数运算及模型改进 页码 6：总结
进攻和防御是一对形影不离的死对头。
早在中国的夏朝时期，“矛”和“盾”这两样兵器就已被发明。制矛的匠师想要使矛变得锋利以突破盾的防御，制盾的工人盘算如何加固盾以抵御矛的进攻。
无独有偶，近两百年的热兵器时代也有这样的“矛”和“盾”。正如我们熟知的“陆战之王”——坦克拥有强大的火炮和厚重的装甲，正是“矛”与“盾”的集大成者。坦克于一战时期被发明，最早用于协助步兵进攻。二战中坦克的发展达到顶峰。于是也出现了一种新的战斗模式：坦克战。
坦克之间唯一决出胜负的方式是使对方坦克瘫痪。这就需要利用它的“矛”：主炮，向敌军坦克发射炮弹，争取击穿以损伤其内部结构;同时不可或缺的是它的“盾”:厚实的装甲。如果装甲的实际厚度大于炮弹的穿透能力，那么该炮弹无法对此坦克造成伤害。
最初，坦克战使用的炮弹是一种特制的前端尖锐，弹体坚硬且具有一定杀伤力的穿甲榴弹(即 AP)。
随着战争的演进，由于钨等金属应用于炮弹以提升其穿甲能力，工程师们发现增加垂直装甲的厚度并不能有效提高坦克的防御性能，于是一种新型装甲模式诞生了：倾斜装甲。举一个简单的例子：若将垂直放置的 100mm 钢装甲以 45°角倾斜放置，那么炮弹需要击穿的实际厚度为 100mm×csc45°≈141mm。这种设计具有多方面好处.一能提高坦克防御性；二是减轻车体质量，节约钢材；三能提升敌军炮弹跳弹几率。
正所谓魔高一尺，道高一丈。面对倾斜装甲，工程师们又拿出了巧妙的应对方式：被帽穿甲弹（APC）。该类型炮弹对倾斜装甲具有一定反制效果。下图左为德制 128mmFlak40 高炮装载的 Pzgr43 型被帽穿甲弹，右为 APC 与 AP 简图。
恰如其名，APC 相较于 AP 的改进之处是在弹头处添加了一层被帽。现在我们将对该改进进行数学建模，说明其优势。
我们首先介绍被帽的特点。被帽一般韧性较好，外形平钝，这也容易增加炮弹飞行时的空气阻力。
上图分别是被帽穿甲弹和穿甲弹击中敌人装甲后受到装甲对它的反作用力，一边是绿线表示的支持力 F N ，一边是橙线表示的摩擦力 f。假设两发炮弹口径相同，接触到装甲时入射角度相同，动能相同。如果像左边的被帽穿甲弹那样，弹头韧性好，在接触中自身的形变就可以吸收更多的动能，受到的 F N 就会比右图的 F N 小，受到其竖直向上的分力就会更小，又因受力点在弹头右侧，故其炮弹右端的上偏就会减少,从而减小入射角度。我们称此现象为：“转正”。
接触角度
入射角度
在这种情况下，即使转正效果是以损失部分动能为代价的，但是通过计算，其转正效果带来的穿透效果的提高要大于损失的动能，这就是被帽穿甲弹的原理。
模型构成
1.设两次射击使用的炮弹到装甲距离 x 相同。
2.设使用同一主炮发射，即炮口初速度 v 0 相同。考虑空气阻力 f 0 的影响。
3.设受击装甲倾斜角度θ=45°且均为均质钢装甲。
4.设炮弹水平飞行。
5.为简化模型，不考虑跳弹的情况。
模型建立
（此处可能由于兼容性问题，使用 WPS 打开时无法正常显示分式内容及积分内容，为避免建模过程残缺，我们使用了截图功能）
由于 v 恒正，我们省略绝对值符号。化简该式得：
其中，e 为自然常数。
至此，炮弹抵达装甲时速度 v 可以计算。
炮弹接触装甲时使用动能定理，为了简化模型，此处我们假设装甲足够厚，能够使炮弹的速度降为 0，而炮弹的穿透能力则使用装甲的垂直受力大小来表示。
该过程可使用简单的三角函数说明。
利用动能定理，
Ft=mv 1 -mv 2 此处 v 2 为 0，t 很小。代入 v 1 可得：
于是我们得知装甲在水平面上的受力。由于被帽穿甲弹具有转正效应，此处我们将被帽穿甲弹与普通穿甲弹分开讨论。
穿甲弹（AP）
由于装甲倾斜角为 45°，可得装甲垂直受力为：
被帽穿甲弹（APC）
前文已经解释过被帽穿甲弹具有转正效果，经查阅资料，大部分被帽穿甲弹的转正角为 5°，则装甲垂直受力为：
我们以 1941 年美制 75mm M3 主炮为例代入数据。
图片所示三种弹药即为 M3 可发射的弹种。我们研究 AP 与 APC。
注：图片中的 APCBC 为被帽风帽穿甲弹，是 APC 的变种之一。风帽外观尖锐，但不增加炮弹穿透效果，其主要作用为减小风阻。此处我们将风帽移除。
事先设两炮弹初速度相同，为 619m/s；距离 x 为 500m；质量 m AP =6.3kg， m APC =6.79kg；空气密度为 1.293kg/m 3 ；经计算，以 75mm 为直径的圆的面积约为 0.0044m 2 .由于被帽穿甲弹为钝头，可以设风阻系数 C AP =0.5，C APC =1. 将以上数据代入先前推导出来的装甲垂直受力公式，经计算得到：
看似分子差异不大，但是我们知道炮弹与装甲接触时间 t 这一分母是非常小的，所以最终装甲垂直分力也会具有一定差距。
到此为止，我们已通过定量分析的形式说明了被帽穿甲弹的穿透能力强于普通穿甲弹。然而在实战中，坦克兵们往往在一千米的距离就能发现敌军坦克，由于距离与炮弹速度成自然对数相关且被帽穿甲弹风阻较大，经过远距离飞行后其穿透能力衰减会很严重。于是诞生了上文提到的被帽风帽穿甲弹，APCBC。
模型改进
图为被帽风帽穿甲弹，其改进在前文已提及，不多赘述。
被帽风帽穿甲弹首先通过风帽接触装甲。风帽材质较为脆弱，接触到装甲时会立即受到强大的反作用力而碎裂，此后作用效果与被帽穿甲弹无异。其减小的空气阻力能够有效保存炮弹动能，从而保证了炮弹的远距离击穿率。
总结 随着时代的进步，现代坦克早已不再使用过时的被帽穿甲弹，如今最先进的
尾翼脱壳稳定穿甲弹（APFSDS）已经可以击穿 800mm 的坦克钢装甲。曾经那些被牺牲的先烈们视为珍宝的炮弹，或成为收藏家们的展品，或去往炼钢炉回炉重造，总之，永不再有出膛发射的那一天。
坦克，这一诞生了一百多年的钢铁巨兽，直到如今依然在喷射怒火，即使现在是一个以和平与发展为主题的世界，仍有千万生命陨落于坦克的进攻中。我们研究坦克，不在于为了制造更加强大的战车，也不希望更多的人对坦克发生兴趣。我们的宗旨，是想要在世人利用坦克之时提醒他们一句：坦克是杀人的机器！
有人会反驳：“没有战争就没有和平。”这句话我们承认，但是它描述的是第二次世界大战及以前的日子。
现代世界，每个国家都可以通过和平诉求的方式来满足自身的合理需求，并不一定要通过发动战争。惟愿今后，这些在地面上驰骋四方的巨兽能够从此关闭日夜运转的引擎，驻足欣赏人类世界的风景，永不发出震耳欲聋的轰鸣，永不伤害世间无辜的生命。
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