下面是小编为大家整理的第十三讲,,二次型标准化,供大家参考。
第十二讲
合同变换与 二次型 的 标准化
教学目的：
1. 介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵； 2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。
3. 介绍二次型及其矩阵形式； 4. 介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。
教学内容：
第六章：§ 6.4 合同变换； 第七章：§ 7.1
二次型及其标准形； § 7.2
二次型的标准化； 教案提纲：
§ 6.4
合 同 变 换
一、合同变换：
1. 概念：
定义 6.5（又一种特别形式的初等变换）
2. 合同变换的性质：
二、 合同变换 的 实施：
“对称初等变换” 例 例 6.8 ，p.140 。
三、合同标准形：
1. 法律规范形（合同标准形）；义 定义 6.6； 2. 惯性指数：惯性定理（理 定理 6.17）→ 定义 6.7； 正交变换 ：既是相像变换，也是合同变换，更是初等变换。
小结：四个矩阵变换的比较：
第七章
二
次
型
§ 7.1
二次型及其标准形 一、
二次型：
1. 二次型的概念：（从一般的二元二次方程引入）
定义 7.1：两种写法：（7.1）式、（7.2）式， 系数的对称性设定； 2. 二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应，“ 二次型的秩”。
（举例、练习：学会函数形式与矩阵形式的互化）。
二、
二次型的标准形：
1. 标准形 （法式）的概念：
由二次曲面的标准方程引入，定义 7.2； 与对角阵的对应；
2. 标准化：与合同变换的对应。
AX X X f ) (
PY X ，使 Y Y APY P Y AX X A
找可逆阵 P ,使 APP 为对角阵
§ 7.2
二次型的标准化 一、 正交变换法：
理论上没有新内容，用示例讲清 实施步骤：
二次型 AX X X f ) ( → A
→ 求特征值 → 求正交的特征向量组（Schmidt 正交化法或添方程法）→ 分别单位化 → 构成正交变换阵 P
→ 验证 AP P AP P1 → 得到标准形 Y Y Y f ) ( （是唯一确定的）。
例：
AX Xxxx x x x x x x x f 212 1 2 12221 2 11 22 14 ) , ( ， 3 1 3 21 22 12 E A ，特征值1 21 3 ， ，进而得特征向量11112 1p p 、 ，它们已经相互正交，单位化后即得到正交阵1 11 121P 。可对它作两方面验证：一方面， 3 00 16 00 2211 11 1211 22 11 11 1211AP P AP P ；另一方面，将相应的变换 PY X ，即 22112122211211y y xy y x代入原二次型，得 221121221121222112122211214 y y y y y y y y f
212222 2 121 2122 2 121 212 2 2 y y y y y y y y y y
212 12221212222213 00 13 2 2yyy y y y y y y y ； 易见两者的全都性。
作业：p.147 ：20 （1 、4 ）；
p.151 ：56 ； p.168 ：1 （3 、4 ）、2 （3 、4 ）、
备例
