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132 第 8 章 信号参量估计的基本理论（1）
第 1 部分 教学设计 第 第 8 章教学设计（1 ）
授课日期
年
月
日 授课次序
授课学时
授课章节 或主题 第 8 章 信号参量估计的基本理论：8.1 信号参量估计的实质；8.2 信号参量估计的基本原理；8.3 信号参量贝叶斯估计；8.4 最大似然估计；8.5 估计量的性能指标 教学内 容提要 （1）8.1 信号参量估计的实质。
（2）8.2 信号参量估计的基本原理。
（3）8.3 信号参量贝叶斯估计。
（4）8.4 最大似然估计。
（5）8.5 估计量的性能指标。
目的与 要求 （1）深刻理解信号参量估计的概念和实质，掌握信号参量估计的基本原理。
（2）熟练掌握贝叶斯估计、最大后验估计和最大似然估计 3 种经典估计方法。
（3）理解估计量性能指标的物理意义，掌握估计量的性能指标。
知识点 归纳 （1）信号参量估计的概念。
（2）信号参量估计的基本原理。
（3）代价函数。
（4）贝叶斯估计。
（5）最大后验估计。
（6）最大似然估计。
（7）估计量的性能指标。
教学重点 （1）信号参量估计的基本原理。
（2）代价函数。
（3）贝叶斯估计。
（4）最大后验估计。
（5）最大似然估计。
（6）估计量的性能指标。
教学难点 （1）信号参量估计的基本原理。
（2）贝叶斯估计。
（3）估计量的性能指标。
教学方法 讲授法、讨论法、演示法、问题教学法。
教学手段 黑板、多媒体课件、仿真软件。
教学过程 设计 1．教学内容的展开 （1）通过实际应用需求牵引出信号参量估计。
（2）8.1 节的教学思路：从实际应用需求出发，阐述信号参量估计的概念；根据处理的对象，说明信号参量估计的实质；通过分析信号参量估计的推理行为，论述其数学基础，启发学生思维。具体讲授过程：实际应用需求→信号参量估计的概念→信号参量估计的实质→信号参量估计的数学基础。
（3）8.2 节的教学思路：依据贝叶斯统计决策的理论和方法，讨论随机信号的参数估计问题。根据信息传输系统模型，建立信号参量估计的信号模型、参量空间及判决空间，分析信号参量估计所需的信息，说明信号参量估计问题是一个最优化问题，归纳设计信号参量估计系统的步骤，使学生掌握信号参量估计的基本原理。具体讲授过程：信号参量估计的信息传输系统模型→信号参量估计的信号模型→参量空间及判决空间→信号参量估计所需的信息→信号参量估计的准则→估计量→估计量的性能评价→参量估计系统框图→设计信号参量估计系统的步骤。
（4）8.3 节的教学思路：依据贝叶斯统计决策的方法，构造贝叶斯风险作为最优化问题的目标函数，使贝叶斯风险达到最小就是贝叶斯估计。根据典型代价函数，分别讨论最小均方误差估计、条件中值估计及最大后验估计。通过例题掌握贝叶斯估计的方法。具体讲授过程：贝叶斯估计所需的已知条件→一般贝叶斯估计→最小均方误差估计→条件中值估计→最大后验估计→例题。
（5）8.4 节的教学思路：依据贝叶斯估计所需的已知条件这条线索，讨论最大似然估计的物理意义，构造最大似然估计方程；通过与最大后验估计比较，分析最大似然估计与最大后验估计的关系。重点要强调最大似然估计的不变性。通过例题掌握最大似然估计的方法。具体讲授过程：最大似然估计所需的已知条件→最大似然估计的物理意义→最大似然估计方程→与最大后验估计
134 的关系→例题。
（6）8.5 节的教学思路：着重分析估计量性能指标的物理意义，选择这些性能指标的合理性。具体讲授过程：无偏性→有效性→一致性→充分性。
（7）布置适当练习，使学生掌握信号参量估计的基本原理和方法。
2．教学方法与手段的应用 以多媒体教学为主，辅以板书和仿真演示。主要的知识点和关键的内容采用板书加以强调。最大似然估计在实际中的应用过程采用仿真演示。
以讲授法为主，辅以问题教学法、演示法和讨论法。信号参量估计的概念及实质采用问题教学法，提高学生发现问题的能力。一般贝叶斯估计采用讨论法，激发学生学习兴趣。对最大似然估计过程，采用编程讲解和演示法，培养学生用所学知识解决问题的能力。
课后作业 教材第 8 章的思考题：8.1~8.5。
教材第 8 章的习题：8.1、8.3、8.5、8.7、8.8。
教学 后记 通过多媒体、板书、编程讲解和仿真软件演示相结合的教学方法，阐述了信号参量估计的概念及实质，讨论了信号参量估计的基本原理，重点讨论了贝叶斯估计、最大后验估计和最大似然估计 3 种经典估计方法，分析了估计量的性能指标，达到了预定的教学目标。针对几种典型应用，通过仿真软件，演示了最大似然估计过程，提高了教学效果。
第 2 部分 教学内容 8.1 信号参量估计的概念 信号估计是根据接收信号的观测值或观测波形来估计信号的未知参量或未知波形。
信号参量估计是根据接收信号的观测值或观测波形来估计信号的未知参量。未知参量可能是随机变量，也可能是非随机的变量。
估计量是接收信号的观测值或观测波形的函数，是被估计出来的信号未知参量。
信号参量估计的实质是随机信号的参数估计问题，也就是数理统计中参数估计向随机信号的拓展。
信号参量估计采用数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策的理论和方法。
8.2 信号参量估计的基本原理 1． ． 信号参量估计 的信息传输系统模型 信号参量估计的信息传输系统模型是加性噪声情况信息传输系统模型，如图 8.2.1 所示。
2． ． 信号参量估计 的信号模型 设发送设备发送的信号为 ) , ( θ t s ，信道的加性噪声为 ) (t n ，接收设备的接收信号为 ) (t x ，则加性噪声情况信息传输系统的接收信号模型为 ) ( ) , , , , ( ) ( ) , ( ) (2 1t n t s t n t s t xm θ
（8.2.1）
式中：T2 1] , , , [m θ 为未知参量向量，表示未知参量信号的 m 个未知参量。由于噪声是随机信号，故接收设备的接收信号也是随机信号。
在信号参量估计中，将所有可以观测的接收信号组成的集合称为观测空间，并记为)} ( { t x Ψ ，或记为 } {x Ψ 。
3． ． 参量 空间及判决空间 对于信号参量估计，信号 ) , ( θ t s 的所有参量向量组成的集合称为参量空间，记作} { θ Θ 。对于 m 维参量向量 θ ，参量空间 } { θ Θ 是 m 维空间；如果参量向量 θ 是单个参量，那么参量空间就是一段直线。
对于信号参量估计，判决空间一般取参量空间，即 } { θ Θ Φ 。
4． ． 信号参量估计 所需的信息 信号参量估计所需的信息是指未知信号、噪声以及信息传输系统的统计特性，也就是贝叶斯统计决策所需的信息，包括先验信息、抽样信息和损失信息。
（1）先验信息 对于信号参量估计问题，先验信息就是可以事先确定的信息源和发送设备发送信号的参量向量 θ 的联合概率密度 ) ( θ p ，称为先验概率密度。
（2）抽样信息 对于接收信号 ) ( ) , ( ) ( t n t s t x θ ，如果发送设备发送的信号 ) , ( θ t s 是具有未知参量信号（信号形式已知），则接收设备接收信号的概率分布形式与噪声的概率分布形式相同，只是概率分布的参数不相同。将接收信号看作总体，知道了信道噪声的概率分布形式，也就知道了接收设备所接收信号的总体分布。
设信道噪声的概率密度为 ) (n p ，以信号参量向量 θ 为条件的接收信号的条件分布为 )) ( ( | ) ( ) | ( θ θ s x p n p x ps x n
（8.2.2）
条件分布 ) | ( θ x p 就是似然函数，它是对接收信号统计特性的描述，是接收信号观测样本信息与接收的信号总体信息的综合反映。抽样信息是指似然函数。
（3）损失信息 损失信息就是信号参量估计系统作出正确或错误判决的代价函数，表示信号参量估计系图 8.2.1
加性噪声情况信息传输系统模型 信息源
发送设备
信道 接收设备 （含信号参量估计系统）
噪声源 终端设备
136 统所作决策的正确程度。
设发送设备发送信号的真实参量为 θ ，而信号参量估计系统将信号参量估计为 θˆ ，定义信号参量估计系统为此付出的代价为代价函数 )ˆ, ( θ θ c 。真实参量 θ 与估计量 θˆ之差θ θˆ 称 为 估 计 误 差 。
一 般选 用 的 代 价 函 数 与 估计 误 差 θ θˆ 有 关 。
即)ˆ( )ˆ, ( θ θ θ θ c c ，而且误差越大，代价越大。
代价函数 )ˆ, ( θ θ c 应为非负函数、凹函数、在估计误差 0 时达到最小值，并且是误差绝对值 |ˆ| θ θ 的非减函数，是关于 0ˆ θ θ 的对称函数。
常用的典型代价函数有：误差平方代价函数、误差绝对值代价函数及均匀代价函数。
误差平方代价函数的数学表示式为 2)ˆ( )ˆ( )ˆ, ( θ θ θ θ θ θ c c
（8.2.3）
误差平方代价函数的图形如图 8.2.2 所示。
误差绝对值代价函数的数学表示式为 |ˆ| )ˆ( )ˆ, ( θ θ θ θ θ θ c c
（8.2.4）
误差绝对值代价函数的图形如图 8.2.3 所示。
均匀代价函数的数学表示式为 |ˆ| 0|ˆ| 1)ˆ( )ˆ, (θ θθ θθ θ θ θ c c
（8.2.5）
式中：
为正的常数。均匀代价函数的图形如图 8.2.4 所示。
5． ． 信号参量估计 的准则 信号参量估计的准则就是使估计量达到最佳的标准。信号参量估计问题是一个最优化问题。
6． ． 信号参量估计 的 估计量 量 信号参量的估计量就是满足一定最佳准则的从观测空间 } {x Ψ 到判决空间 Φ 上的一个映射或函数 ) (ˆx ， 7． ． 估计 量的性能评价 对于同一个参量向量 θ ，可以有许多不同的估计量或有许多不同的估计方法，需要对估计量性能进行评价。
图 8.2.2
误差平方代价函数 0 )ˆ( θ θ c图 8.2.3
误差绝对值代价函数 0 )ˆ( θ θ c图 8.2.4
均匀代价函数 0 )ˆ( θ θ c 1
8 ．设计 信号参量估计 系统框图 在满足估计性能要求的情况下，依据估计量的数学表示式，设计信号参量估计系统的系统模型，并画出系统框图。
9 ．设计 信号参量估计 系统的步骤 一是确定信号参量估计所需的已知条件；二是寻求一种准则下的估计量；三是评估估计量的性能；四是设计信号参量估计系统框图。
8.3 信号参量贝叶斯估计 1． ． 贝叶斯估计所需的已知条件 采用贝叶斯统计决策的理论和方法的信号参量估计称为信号参量贝叶斯估计，常简称为贝叶斯估计。
贝叶斯估计所需的已知条件有：发送信号 ) , ( θ t s 的参量向量 θ 的先验概率密度 ) ( θ p ，反映接收信号统计特性的似然函数 ) | ( θ x p ，描述参量估计所产生代价或损失的代价函数)ˆ, ( θ θ c 。
2 ．一般贝叶斯估计 贝叶斯估计的准则是使贝叶斯风险最小的准则。
估计量 θˆ 的风险函数是代价函数)ˆ, ( θ θ c 对似然函数 ) | ( θ x p 的统计平均，即 Ψx x p c R d ) | ( )ˆ, ( )ˆ, ( θ θ θ θ θ
（8.3.1）
贝叶斯风险是风险函数对参量向量 θ 的先验概率密度的统计平均，即 } { } {d d ) , ( )ˆ, ( d d ) ( ) | ( )ˆ, ( )ˆ(θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θΨ Ψx x p c x p x p c R
Ψx x p x p c d ) ( d ) | ( )ˆ, (} { θθ θ θ θ
（8.3.2）
式中：
) | ( x p θ 表示在给定观测信号 x 条件下，待估参量向量 θ 的条件概率密度，即参量向量 θ 的后验概率密度。
贝叶斯风险作为信号参量估计这个最优化问题的目标函数。使贝叶斯风险最小是一个无约束条件的最优化问题。
贝叶斯估计就是选择估计量 θˆ 使贝叶斯风险达到最小。贝叶斯风险最小等价于使条件贝叶斯风险最小，即使 } {d ) | ( )ˆ, ( ) |ˆ(θθ θ θ θ θ x p c x R
（8.3.3）
最小。式中：
) |ˆ( x R θ 称为条件贝叶斯风险，或称为条件平均代价。它表示在观测向量 x 已知条件下的贝叶斯风险或平均代价。
将条件贝叶斯风险 ) |ˆ( x R θ 对 θˆ求偏导并等于 0，就能求得参量向量 θ 的贝叶斯估计量Bˆθ 。即
138 0ˆ ˆˆ)ˆ(Bθ θθ| θ x R 3 ．最小均方误差估计 最小均方误差估计就是代价函数为误差平方代价函数的贝叶斯估计，其准则是使估计误差平方的统计平均达到最小。
对于单参量 估计的情况，如果选用误差平方代价函数2)ˆ( )ˆ, ( θ θ θ θ c ，信号参量估计的贝叶斯风险为 Ψθ x θ p θ x p θ θ θ R d d ) ( ) | ( )ˆ( )ˆ(2
（8.3.4）
它实际是估计量θˆ对真实参量 的均方误差。最小均方误差估计的条件贝叶斯风险为 θ x θ p θ θ x θ R d ) | ( )ˆ( ) |ˆ(2
（8.3.5）
最小均方误差估计量MSˆθ 应满足如下方程 0ˆ)ˆ(MSˆ ˆθ θθx θ R |
（8.3.6）
最小均方误差估计量MSˆθ 为 ] | [ d ) | (d ) | (d ) | (ˆMSx E x px px pθ
（8.3.9）
它是参量 对后验概率密度函数的均值。
对于由 m 个参量组成的参量向量T2 1] , , , [m θ ，误差平方代价函数为 mkk kc12)ˆ( )ˆ, ( θ θ
（8.3.10）
条件贝叶斯风险为 } {12d ) | ( )ˆ( ) |ˆ(θθ θ θ x p x Rmkk k
（8.3.12）
最小均方误差估计量MSˆkθ 应满足如下方程 m kθx Rk k kθ θ, , 2 , 1 0ˆ)ˆ(MSˆ ˆ | θ
（8.3.13）
求解联立方程，就可以同时获得 m 个参量的估计向量MSˆθ 。
4 ．条件中值估计 对于单参量 估计的情况，如果选用误差绝对值代价函数 |ˆ| )ˆ, ( θ θ θ θ c ，条件贝叶斯
风险为 θ x θ p θ θ x θ R d ) | ( |ˆ| ) |ˆ(
θθθ x θ p θ θ θ x θ p θ θˆˆd ) | ( )ˆ( d ) | ( )...